{"source":"Free Chord Book","source_url":"https://www.free-chords.com","license_note":"Free for personal use. Lyrics and compositions © their respective songwriters and publishers.","tab_id":2755845,"song":"Pi Ist Irrational","artist":"DorFuchs","content_type":"chord","tab_type":"Chords","url":"https://www.free-chords.com/song/11630579-pi-ist-irrational-chords-by-dorfuchs/","api_url":"https://www.free-chords.com/api/v1/songs/2755845?type=chord","rating":0.14029,"votes":0,"content":"[Chords]\r\n[ch]Bm[/ch]    x24432\r\n[ch]D[/ch]     xx0232\r\n[ch]Em[/ch]    022000\r\n[ch]F#[/ch]    244322\r\n[ch]Gmaj7[/ch] 35443x\r\n[ch]F#7[/ch]   242322\r\n\r\n[Chorus]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]                                      [ch]Gmaj7[/ch]\r\n3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]          [ch]D[/ch]                                                   [ch]F#7[/ch]\r\nEs gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]          [ch]Bm[/ch]                                                      [ch]Gmaj7[/ch]\r\nUnd der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]      [ch]D[/ch]                                                   [ch]F#7[/ch]\r\nZum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.[/tab]\r\n\r\n[Verse 1]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]\r\n Nehmen wir mal das Gegenteil an:[/tab]\r\n[tab]         [ch]Gmaj7[/ch]\r\nDass man Pi vielleicht ja doch als Bruch natürlicher Zahlen schreiben kann,[/tab]\r\n[tab]    [ch]Em[/ch]\r\nwie a geteilt durch b und mal seh'n, wie's weiter geht:[/tab]\r\n[tab]              [ch]F#[/ch]\r\nWie wär's mit Pi hoch n mal a hoch n durch n Fakultät?[/tab]\r\n\r\n[Verse 2]\r\n[tab]   [ch]Bm[/ch]\r\nHm. Da wächst der Nenner durch die Fakultät[/tab]\r\n[tab]      [ch]D[/ch]\r\nsogar schneller als der Zähler und für große n geht es,[/tab]\r\n[tab]         [ch]Em[/ch]\r\ndass der ganze Bruch dann kleiner wird als 1 durch Pi[/tab]\r\n[tab]       [ch]F#[/ch]\r\nund so wählen wir uns das n und jetzt definiert[/tab]\r\n\r\n[Verse 3]\r\n[tab]      [ch]Bm[/ch]\r\nman f(x) als x hoch n mal a minus bx hoch n[/tab]\r\n[tab]          [ch]D[/ch]\r\ndurch die Fakultät von n und jetzt können wir erkennen:[/tab]\r\n[tab]         [ch]Em[/ch]\r\nZwischen 0 und Pi ist f und auch der Sinus jeweils positiv,[/tab]\r\n[tab][ch]F#[/ch]\r\n also ist auch das Produkt wieder positiv[/tab]\r\n\r\n[Verse 4]\r\n[tab]    [ch]Bm[/ch]\r\nund x ist kleiner als Pi, a-bx ist kleiner als a,[/tab]\r\n[tab]              [ch]D[/ch]\r\nder Sinus ist kleiner gleich 1 und dann steht auch noch n Fakultät da[/tab]\r\n[tab]        [ch]Em[/ch]\r\nund das Ganze haben wir kleiner als 1 durch Pi konstruiert,[/tab]\r\n[tab]             [ch]F#[/ch]\r\nwas sich als gut erweist, wenn man Sinus mal f integriert,[/tab]\r\n\r\n[Verse 5]\r\n[tab]            [ch]Bm[/ch]\r\ndenn dieses Integral ist kleiner als das mit 1 durch Pi,[/tab]\r\n[tab]     [ch]D[/ch]\r\naber das ist genau 1, wie man relativ leicht sieht[/tab]\r\n[tab]           [ch]Em[/ch]\r\nund das Produkt ist größer 0 und damit auch das Integral,[/tab]\r\n[tab]     [ch]F#[/ch]\r\naber was uns das jetzt bringt? Naja, schau'n wir mal...[/tab]\r\n\r\n[Chorus]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]                                      [ch]Gmaj7[/ch]\r\n3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]          [ch]D[/ch]                                                   [ch]F#7[/ch]\r\nEs gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]          [ch]Bm[/ch]                                                      [ch]Gmaj7[/ch]\r\nUnd der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]      [ch]D[/ch]                                                   [ch]F#7[/ch]\r\nZum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.[/tab]\r\n\r\n[Verse 6]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]\r\n Sieht man sich das f genau an,[/tab]\r\n[tab]                [ch]D[/ch]\r\ndann sieht man, dass man das hoch n hier ausmultiplizieren kann[/tab]\r\n[tab]        [ch]Em[/ch]\r\nund das wird 'ne Summe, bei deren Summanden ich erkenn':[/tab]\r\n[tab]         [ch]F#[/ch]\r\nDas sind ganze Zahlen mal x mit Exponent bis zu n[/tab]\r\n\r\n[Verse 7]\r\n[tab]             [ch]Bm[/ch]\r\nund nehm ich das mal x hoch n, kann ich weiter erkenn':[/tab]\r\n[tab]        [ch]D[/ch]\r\nDie Exponenten laufen jetzt von n an bis zu 2n[/tab]\r\n[tab]           [ch]Em[/ch]\r\nund da die Fakutät konstant ist und ich sonst alles addiere,[/tab]\r\n[tab]             [ch]F#[/ch]\r\nkann ich auf jeden Summanden einzeln seh'n, wenn ich diferenziere[/tab]\r\n\r\n[Verse 8]\r\n[tab]        [ch]Bm[/ch]\r\nund mit jeder Ableitung kommt der Exponent als Faktor davor[/tab]\r\n[tab][ch]D[/ch]\r\n und wird dann um 1 kleiner und jetzt stell' dir vor,[/tab]\r\n[tab]              [ch]Em[/ch]\r\nwas passiert, wenn man weniger als n-mal die Ableitung macht.[/tab]\r\n[tab]           [ch]F#[/ch]\r\nDann steht überall noch das x und das hat uns gebracht,[/tab]\r\n\r\n[Verse 9]\r\n[tab]              [ch]Bm[/ch]\r\ndass wenn wir 0 einsetzen, dann hier 0 raus kommt[/tab]\r\n[tab]        [ch]D[/ch]\r\nund die Frage ist, was bei der n-ten Ableitung raus kommt,[/tab]\r\n[tab]           [ch]Em[/ch]\r\ndenn da verschwindet dann das x in dem allerersten Term,[/tab]\r\n[tab]           [ch]F#[/ch]\r\ndoch durch n-maliges Ableiten kann man sich erklären,[/tab]\r\n\r\n[Verse 10]\r\n[tab]          [ch]Bm[/ch]\r\ndass hier insgesamt n Fakultät als Faktor steht,[/tab]\r\n[tab]        [ch]D[/ch]\r\nwas man mit dem Nenner kürzt und, wenn ich 0 einsetze, steht[/tab]\r\n[tab]          [ch]Em[/ch]\r\nhier eine ganze Zahl und macht man das Ganze mal[/tab]\r\n[tab]               [ch]F#[/ch]\r\nauch bis zur (2n)-ten Ableitung, dann wird ganz schnell klar:[/tab]\r\n\r\n[Verse 11]\r\n[tab]               [ch]Bm[/ch]\r\ndas sind alles ganze Zahlen und leite ich dann noch weiter ab,[/tab]\r\n[tab]       [ch]D[/ch]\r\nist es so, dass ich echt nur noch 0 hab[/tab]\r\n[tab]        [ch]Em[/ch]\r\nund das Ganze geht genauso auch an der Stelle Pi,[/tab]\r\n[tab]     [ch]F#[/ch]\r\ndenn f ist symmetrisch, was man relativ leicht sieht,[/tab]\r\n\r\n[Verse 12]\r\n[tab]            [ch]Bm[/ch]\r\nwenn man in f einfach Pi minus x einsetzt[/tab]\r\n[tab]             [ch]D[/ch]\r\nund bisschen umformt, denn dann sieht man nämlich jetzt:[/tab]\r\n[tab]        [ch]Em[/ch]\r\nDas ist f(x) und daher die Symmetrie.[/tab]\r\n[tab]           [ch]F#[/ch]\r\nVielleicht brauchen wir das noch, man weiß ja nie.[/tab]\r\n\r\n[Verse 13]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]\r\nErstmal schau'n wir, was mit diesem Integral passiert,[/tab]\r\n[tab]            [ch]D[/ch]\r\nwenn man es direkt lösen will und partiell integriert.[/tab]\r\n[tab]              [ch]Em[/ch]\r\nMan nimmt für eine der Funktionen eine Stammfunktion[/tab]\r\n[tab]    [ch]F#[/ch]\r\nund bildet das Produkt mit der anderen Funktion[/tab]\r\n\r\n[Verse 14]\r\n[tab]  [ch]Bm[/ch]\r\nminus das Integral von der Stammfunktion[/tab]\r\n[tab][ch]D[/ch]\r\nmal die Ableitung der anderen Funktion.[/tab]\r\n[tab][ch]Em[/ch]\r\nUnd setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein,[/tab]\r\n[tab]     [ch]F#[/ch]\r\ndann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein[/tab]\r\n\r\n[Verse 15]\r\n[tab]              [ch]Bm[/ch]\r\nund nimmt für eine der Funktionen wieder 'ne Stammfunktion[/tab]\r\n[tab]    [ch]D[/ch]\r\nund bildet das Produkt mit der anderen Funktion[/tab]\r\n[tab]  [ch]Em[/ch]\r\nminus das Integral von der Stammfunktion[/tab]\r\n[tab]        [ch]F#[/ch]\r\nmal die Ableitung der anderen Funktion.[/tab]\r\n\r\n[Verse 16]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]\r\nUnd setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein,[/tab]\r\n[tab]     [ch]D[/ch]\r\ndann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein[/tab]\r\n[tab]       [ch]Em[/ch]\r\nund so weiter. Wenn man das (2n+1)-mal macht,[/tab]\r\n[tab]             [ch]F#[/ch]\r\ndann hat man es durch die Ableitungen beim f soweit geschafft,[/tab]\r\n\r\n[Verse 17]\r\n[tab]              [ch]Bm[/ch]\r\ndass nur noch 0 da steht und dann fällt der Rest weg.[/tab]\r\n[tab][ch]D[/ch]\r\n Also hat man dann hier insgesamt entdeckt:[/tab]\r\n[tab][ch]Em[/ch]\r\nDieses Integral ist immer eine ganze Zahl,[/tab]\r\n[tab]     [ch]F#[/ch]\r\ndoch warte mal, wir hatten dieses Integral schon mal![/tab]\r\n\r\n[Verse 18]\r\n[tab]   [ch]Bm[/ch]\r\nIm ersten Teil hatten wir doch eindeutig gezeigt:[/tab]\r\n[tab][ch]D[/ch]\r\nDieses Integral liegt zwischen 0 und 1,[/tab]\r\n[tab]     [ch]Em[/ch]\r\naber das kann ja nicht sein und da gibt's nur einen Schluss:[/tab]\r\n[tab]    [ch]F#[/ch]\r\nDie Annahme, Pi wäre rational ist einfach Stuss![/tab]\r\n\r\n[Verse 19]\r\n[tab]              [ch]Bm[/ch]\r\nDas führt zu Widersprüchen, also ist das Gegenteil wahr.[/tab]\r\n[tab]       [ch]D[/ch]\r\nPi ist irrational. Was zu beweisen war.[/tab]\r\n[tab][ch]E[/ch]               [ch]F#[/ch]\r\n Ja, alles klar?[/tab]\r\n\r\n[Chorus]\r\n[tab][ch]Bm[/ch]                                      [ch]Gmaj7[/ch]\r\n3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]          [ch]D[/ch]                                                   [ch]F#7[/ch]\r\nEs gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]          [ch]Bm[/ch]                                                      [ch]Gmaj7[/ch]\r\nUnd der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.[/tab]\r\n[tab]      [ch]D[/ch]                                                   [ch]F#7[/ch]\r\nZum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.[/tab]","plain_text":"[Chords]\nBm    x24432\nD     xx0232\nEm    022000\nF#    244322\nGmaj7 35443x\nF#7   242322\n\n[Chorus]\n\n\n\n\n\n[Verse 1]\n\n\n\n\n\n[Verse 2]\n\n\n\n\n\n[Verse 3]\n\n\n\n\n\n[Verse 4]\n\n\n\n\n\n[Verse 5]\n\n\n\n\n\n[Chorus]\n\n\n\n\n\n[Verse 6]\n\n\n\n\n\n[Verse 7]\n\n\n\n\n\n[Verse 8]\n\n\n\n\n\n[Verse 9]\n\n\n\n\n\n[Verse 10]\n\n\n\n\n\n[Verse 11]\n\n\n\n\n\n[Verse 12]\n\n\n\n\n\n[Verse 13]\n\n\n\n\n\n[Verse 14]\n\n\n\n\n\n[Verse 15]\n\n\n\n\n\n[Verse 16]\n\n\n\n\n\n[Verse 17]\n\n\n\n\n\n[Verse 18]\n\n\n\n\n\n[Verse 19]\n\n\n\n\n[Chorus]","chords":["Bm","D","Em","F#","Gmaj7","F#7","E"],"chord_diagrams":{"Bm":{"barres":[2],"baseFret":1,"fingers":[0,1,3,4,2,1],"frets":[-1,2,4,4,3,2]},"D":{"barres":[],"baseFret":1,"fingers":[0,0,0,1,3,2],"frets":[-1,-1,0,2,3,2]},"E":{"barres":[],"baseFret":1,"fingers":[0,2,3,1,0,0],"frets":[0,2,2,1,0,0]},"Em":{"barres":[],"baseFret":1,"fingers":[0,2,3,0,0,0],"frets":[0,2,2,0,0,0]},"Gmaj7":{"barres":[],"baseFret":1,"fingers":[2,1,0,0,0,1],"frets":[3,2,0,0,0,2]}}}